Contoh Soal dan Pembahasan Logika Matematika

    1.       Ingkaran (Negasi) Sumber : https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/04/contoh-soal-ingkaran-logika-matematika.html

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini dan tentukan pula nilai kebenarannya.

a) Senin adalah hari setelah selasa

b) Surabaya terletak di kalimantan

Jawab:

a) Senin adalah hari setelah setelah selasa (benar)

Negasinya: Tidak benar bahwa Senin adalah hari setelah selasa (salah)

b) Surabaya terlatak di Kalimantan (salah)

Negasinya: Surabaya tidak terletak di Kalimantan (benar)

    2.       Pernyataan Majemuk

a.       Konjungsi (dan “^”) Sumber : https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/05/contoh-soal-konjungsi-dalam-logika-matematika-dan-pembahasannya.html

a)       Diberikan dua pernyataan berikut ini.

p: Mangga adalah nama buah (benar)

q: Mangga adalah buah berbentuk balok (salah)

Tentukan kalimat konjungsi dan nilai kebenarannya.

Jawab:

p ∧ q: Mangga adalah nama buah dan berbentuk balok, bernilai salah.

b)      Kalimat “Unila adalah universitas negeri dan terletak di Lampung” bernilai benar. Mengapa demikian?

Jawab:

Kalimat di atas, dapat dipisahkan menjadi dua seperti berikut

p: Unila adalah universitas negeri (benar)

q: Unila terletak di Lampung (benar)

Karena keduanya memiliki nilai kebenaran benar, kesimpulannya pasti benar.

b.       Disjungsi (atau “v”) Sumber : https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/05/contoh-soal-disjungsi-dan-pembahasannya.html

a)       Diberikan dua pernyataan berikut ini.

p: 4 + 9 = 13 (benar)

q: 6 adalah bilangan prima (salah)

Tentukan kalimat disjungsi dan nilai kebenarannya.

Jawab:

p ∨ q: 4 + 9 = 13 atau 6 adalah bilangan prima (benar)

b)      Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi dua pernyataan berikut.

p: Salah satu faktor dari 12 adalah 5. (salah)

q: 14 habis dibagi dengan 2. (benar)

Jawab:

p ∨ q: Salah satu faktor dari 12 adalah 5 atau 14 habis dibagi dengan 2. (benar)

c.     Implikasi (jika …, maka … “->”) Sumber : https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/05/contoh-soal-implikasi-dalam-logika-matematika-dan-pembahasannya.html

a)    Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut.

p: Pak Rudi adalah manusia. (benar)

q: Pak Rudi kelak akan mati. (benar)

Jawab:

p ⇒ q: Jika Pak Rudi adalah manusia, maka kelak akan mati. (benar)

b)    Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut.

p: 2 + 5 = 7 (benar)

q: 7 bukan bilangan prima (salah)

Jawab:

p ⇒ q: Jika 2 + 5 = 7, maka 7 bukan bilangan prima (salah).

d.    Biimplikasi ( … jika dan hanya jika … “<->”) Sumber : https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/05/contoh-soal-biimplikasi-dalam-logika-matematika.html

a)    Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.

p: 3 × 2 = 6 (benar)

q: 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6} (salah)

Jawab:

p ⇔ q: 3 × 2 = 6 jika dan hanya jika 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6}. (salah)

b)    Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.

p: Persegi memiliki 5 simetri lipat. (salah)

q: Persegi memiliki 2 simetri putar. (salah)

Jawab:

p ⇔ q: Persegi memiliki 5 simetri lipat jika dan hanya jika memiliki 2 simetri putar. (benar)

    3.       Ingkaran Pernyataan Majemuk Sumber : https://www.konsep-matematika.com/2018/02/negasi-atau-ingkaran-pernyataan-majemuk.html

a.       ~ (p ^ q) = ~p v ~q

- Pernyataan : Budi lulus SMA dan melanjutkan kuliah kedokteran.

Kita ubah menjadi simbol-simbol :

Artinya :

p mewakili Budi lulus SMA

q mewakili melanjutkan kuliah kedokteran.

- Negasi dari p ^ q:

~ (p ^ q) = ~p v ~q

Dibaca : "Budi tidak lulus SMA atau Budi tidak melanjutkan kuliah kedokteran"

b.       ~ (p v q) = ~p ^ ~q

- Pernyataan : Hari ini hujan atau cuaca cerah.

Kita ubah menjadi simbol-simbol :

Artinya :

p mewakili hari ini hujan

q mewakili cuaca cerah.

- Negasi dari p v q:

~ (p v q) = ~p ^ ~q

Dibaca : "hari ini tidak hujan dan cuaca tidak cerah"

c.       ~ (p -> q) = p ^ ~q

Pernyataan : Jika Iwan ingin menjadi hakim, maka ia harus kuliah jurusan hukum.

Kita ubah menjadi simbol-simbol :

Artinya :

p mewakili Iwan ingin menjadi hakim

q mewakili ia harus kuliah jurusan hukum.

- Negasi dari p -> q:

~ (p -> q) = p ^ ~q

Dibaca : "Iwan ingin menjadi hakim dan ia tidak harus kuliah jurusan hukum "

d.       ~ (p <-> q) = p <-> ~q

~ (p <-> q) = ~p <-> q

Pernyataan : Wati juara kelas jika dan hanya jika wati cerdas.

- Kita ubah menjadi simbol-simbol :

Artinya :

p mewakili Wati juara kelas

q mewakili Wati cerdas.

- Negasi dari p <-> q:

~ (p <-> q) = p <-> ~q

Dibaca : "Wati juara kelas jika dan hanya jika wati tidak cerdas".

atau

~ (p <-> q) = ~p <-> q

Dibaca : "Wati tidak juara kelas jika dan hanya jika wati cerdas".

    4.       Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi Sumber : http://materimatematikalengkap.blogspot.com/2017/10/konvers-invers-dan-kontraposisi.html

a.       Jika Amir memancing ikan maka ia pergi ke danau Dendam

Implikasi : Jika Amir memancing ikan maka ia pergi ke danau Dendam

Konvers : Jika Amir pergi ke danau Dendam maka ia memancing ikan

Invers : Jika Amir tidak memancing ikan maka ia tidak pergi ke danau Dendam

Kontraposisi : Jika Amir tidak pergi ke danau Dendam maka ia tidak memancing ikan

b.       Jika x habis dibagi 3 maka x bukan bilangan prima

Implikasi : Jika x habis dibagi 3 maka x bukan bilangan prima

Konvers : Jika x bukan bilangan prima maka x habis dibagi 3

Invers : Jika x tidak habis dibagi 3 maka x bilangan prima

Kontraposisi : Jika x bilangan prima maka x tidak habis dibagi 3